Упр.19.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На графике функции $$y=x-\ln(2x-5)$$ выбирают произвольную точку $$M$$ и соединяют с началом координат $$O$$. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок $$OM$$, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.

Пусть точка $$M(x;y)$$ лежит на графике функции $$y=x-\ln(2x-5).$$ Тогда стороны прямоугольника, лежащие на осях координат, имеют длины $$x$$ и $$y,$$ а его периметр равен

$$P=2(x+y)=2\bigl(x+x-\ln(2x-5)\bigr)=4x-2\ln(2x-5).$$

Так как $$2x-5>0,$$ то $$x>2{,}5.$$ Найдём минимум функции $$P(x)$$:

$$P'(x)=4-2\cdot \frac{2}{2x-5}=4-\frac{4}{2x-5}=\frac{8x-24}{2x-5}=8\cdot \frac{x-3}{2x-5}.$$

При $$x>2{,}5$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем. Получаем, что $$P'(x)=0$$ при $$x=3,$$ и это точка минимума.

Найдём значение периметра:

$$P_{\min}=P(3)=4\cdot 3-2\ln(2\cdot 3-5)=12-2\ln 1=12.$$

Ответ: $$12.$$