Упр.19.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$y=\ln(x^2-2x-3)$$; б) $$y=\ln(3+2x-x^2)$$.
а) $$y=\ln(x^2-2x-3)=\ln\bigl((x-1)^2-4\bigr).$$
Область определения:
$$x^2-2x-3>0,$$
$$(x+1)(x-3)>0,$$
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>3.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{2x-2}{x^2-2x-3}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:
$$2x-2=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$
Но $$x=1$$ не принадлежит области определения, значит, критических точек нет. Функция убывает на $$(-\infty,-1)$$ и возрастает на $$(3,+\infty).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=3.$$
Точки пересечения с осью абсцисс найдём из уравнения:
$$\ln(x^2-2x-3)=0,$$
$$x^2-2x-3=1,$$
$$x^2-2x-4=0,$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt5.$$
Следовательно, график проходит через точки $$\bigl(1-\sqrt5,\,0\bigr)$$ и $$\bigl(1+\sqrt5,\,0\bigr)$$ и симметричен относительно прямой $$x=1.$$
б) $$y=\ln(3+2x-x^2)=\ln\bigl(4-(x-1)^2\bigr).$$
Область определения:
$$3+2x-x^2>0,$$
$$x^2-2x-3<0,$$
$$(x+1)(x-3)<0,$$
$$-1<x<3.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{2-2x}{3+2x-x^2}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому
$$y’>0 \iff 2-2x>0 \iff x<1,$$
$$y'<0 \iff x>1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-1,1)$$ и убывает на $$(1,3).$$
В точке $$x=1$$ достигается максимум:
$$y_{\max}=y(1)=\ln(3+2\cdot1-1)=\ln4.$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$y(0)=\ln3.$$
Точки пересечения с осью абсцисс найдём из уравнения:
$$\ln(3+2x-x^2)=0,$$
$$3+2x-x^2=1,$$
$$x^2-2x-2=0,$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt3.$$
Следовательно, график проходит через точки $$\bigl(1-\sqrt3,\,0\bigr)$$ и $$\bigl(1+\sqrt3,\,0\bigr)$$, имеет вертикальные асимптоты $$x=-1$$ и $$x=3$$ и симметричен относительно прямой $$x=1.$$
Ответ: построение графиков функций $$y=\ln(x^2-2x-3)$$ и $$y=\ln(3+2x-x^2)$$ с указанными свойствами.
