Упр.19.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) Для функции $$y=x^2e^{-x}$$ найдём производную:

$$y’=(x^2)’e^{-x}+x^2(e^{-x})’ = 2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x(2-x)$$.

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.

Исследуем знак производной:

при $$x<0$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
при $$0<x<2$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
при $$x>2$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает.

Следовательно, в точке $$x=0$$ — минимум, а в точке $$x=2$$ — максимум:

$$y(0)=0^2e^0=0,$$

$$y(2)=2^2e^{-2}=\frac{4}{e^2}.$$

Кроме того,

$$\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=0,$$

значит, при $$x\to+\infty$$ график имеет горизонтальную асимптоту $$y=0$$.

Для построения удобно отметить точки $$(-1,e)$$, $$\left(0,0\right)$$, $$\left(2,\frac{4}{e^2}\right)$$ и учесть, что слева график уходит вверх, а справа стремится к оси $$Ox$$.

б) Для функции $$y=x^3e^x$$ найдём производную:

$$y’=(x^3)’e^x+x^3(e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3).$$

Так как $$e^x>0$$ и $$x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$x+3$$, а точка $$x=0$$ является стационарной.

Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=0$$.

Исследуем поведение функции:

при $$x<-3$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
при $$x>-3$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
в точке $$x=0$$ производная равна нулю, но экстремума нет.

Значит, в точке $$x=-3$$ — минимум:

$$y(-3)=(-3)^3e^{-3}=-27e^{-3}=-\frac{27}{e^3}.$$

Также

$$\lim_{x\to-\infty}x^3e^x=0,$$

поэтому при $$x\to-\infty$$ горизонтальная асимптота графика — $$y=0$$.

Для построения удобно отметить точки $$\left(-3,-\frac{27}{e^3}\right)$$, $$\left(0,0\right)$$, $$\left(1,e\right)$$ и учесть, что слева график приближается к оси $$Ox$$, затем убывает до минимума и дальше возрастает.

Ответ

а) График функции $$y=x^2e^{-x}$$ проходит через точки $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(2,\frac{4}{e^2}\right)$$, имеет минимум в точке $$\left(0,0\right)$$, максимум в точке $$\left(2,\frac{4}{e^2}\right)$$, горизонтальная асимптота при $$x\to+\infty$$: $$y=0$$.

б) График функции $$y=x^3e^x$$ проходит через точки $$\left(-3,-\frac{27}{e^3}\right)$$, $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(1,e\right)$$, имеет минимум в точке $$\left(-3,-\frac{27}{e^3}\right)$$, горизонтальная асимптота при $$x\to-\infty$$: $$y=0$$.