Упр.19.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 19.42. Постройте график функции: а) $$y=e^{x^2-2x+1}$$; б) $$y=e^{x^3-x^2-x+1}$$.

а) $$y=e^{x^2-2x+1}=e^{(x-1)^2}.$$

Так как $$(x-1)^2 \ge 0,$$ то $$y \ge 1.$$ Минимум функции достигается при $$x=1$$ и равен

$$y_{\min}=e^0=1.$$

Найдём несколько точек для построения графика:

График функции $$y=e^{(x-1)^2}$$ симметричен относительно прямой $$x=1$$, имеет наименьшую точку $$(1;1)$$ и быстро возрастает при удалении от этой точки.

б) $$y=e^{x^3-x^2-x+1}=e^{(x-1)^2(x+1)}.$$

Найдём производную:

$$y’ = e^{x^3-x^2-x+1}(3x^2-2x-1).$$

Так как $$e^{x^3-x^2-x+1}>0,$$ знак производной определяется выражением $$3x^2-2x-1.$$ Решим неравенство:

$$3x^2-2x-1 \ge 0 \\\\ (3x+1)(x-1)\ge 0 \\\\ x \le -\frac13 \quad \text{или} \quad x \ge 1.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-\frac13]$$ и $$[1;+\infty),$$ а убывает на $$[-\frac13;1].$$

Найдём значения функции в точках экстремума:

$$y\!\left(-\frac13\right)=e^{-\frac1{27}-\frac19+\frac13+1}=e^{\frac{32}{27}}, \qquad y(1)=e^{1-1-1+1}=e^0=1.$$

Значит, в точке $$x=-\frac13$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

Кроме того, при $$x\to -\infty$$ имеем $$x^3-x^2-x+1\to -\infty,$$ поэтому

$$\lim_{x\to -\infty} e^{x^3-x^2-x+1}=0.$$

Значит, у графика есть горизонтальная асимптота $$y=0$$ слева.

Найдём ещё несколько точек:

По этим данным строим эскиз графика: слева он приближается к оси $$Ox,$$ затем возрастает до максимума при $$x=-\frac13,$$ после чего убывает до минимума при $$x=1,$$ а затем снова возрастает.

Ответ

а) $$y=e^{(x-1)^2},\quad y_{\min}=1 \text{ при } x=1.$$

б) $$y=e^{x^3-x^2-x+1},$$ максимум при $$x=-\frac13,$$ $$y_{\max}=e^{32/27},$$ минимум при $$x=1,$$ $$y_{\min}=1,$$ горизонтальная асимптота $$y=0$$ при $$x\to -\infty.$$