Упр.19.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите, если возможно, наименьшее и (или) наибольшее значение заданной функции на указанном промежутке: а) $$y=\ln x+x$$; $$(0;1]$$; б) $$y=\frac{e^x}{x}$$; $$(0;2)$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\ln x+x$$ на промежутке $$\left(0;1\right].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}.$$

При $$x>0$$ имеем $$y'(x)>0$$, значит, функция возрастает на $$\left(0;1\right].$$

Следовательно, наименьшего значения на этом промежутке нет, а наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

$$y(1)=\ln 1+1=1.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{e^x}{x}$$ на промежутке $$\left(0;2\right).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{(e^x)’ \cdot x-e^x\cdot (x)’}{x^2}=\frac{e^x x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x>0$$, знак производной определяется выражением $$x-1$$:

$$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<1,\qquad y'(x)>0 \text{ при } 1<x<2.$$

Значит, в точке $$x=1$$ функция принимает наименьшее значение:

$$y(1)=\frac{e^1}{1}=e.$$

Наибольшего значения на промежутке $$\left(0;2\right)$$ нет, так как при $$x\to 0+$$ имеем $$\frac{e^x}{x}\to +\infty.$$

Ответ: а) наименьшего значения нет, наибольшее равно $$1$$; б) наименьшее равно $$e$$, наибольшего значения нет.