Упр.19.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=4\cdot 2^{3x}-27\cdot 2^{2x}+3\cdot 2^{x+3},\quad x\in[-2;0]$$; б) $$y=3^{3x}-2\cdot 3^{2x}+9\cdot 3^{x-2},\quad x\in[-1;1]$$.

а) $$y=4\cdot 2^{3x}-27\cdot 2^{2x}+3\cdot 2^{x+3}, \quad x\in[-2;0].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=12\cdot 2^{3x}\ln 2-54\cdot 2^{2x}\ln 2+24\cdot 2^x\ln 2.$$

Вынесем общий множитель:

$$y'(x)=6\cdot 2^x\ln 2\,(2\cdot 2^{2x}-9\cdot 2^x+4).$$

Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$2t^2-9t+4=0.$$

$$D=81-32=49,$$

$$t_1=\frac{9-7}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{9+7}{4}=4.$$

Значит,

$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1,\qquad 2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

На отрезке $$[-2;0]$$ лежит только точка $$x=-1.$$ Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(-2)=4\cdot 2^{-6}-27\cdot 2^{-4}+3\cdot 2^{1}=\frac{1}{16}-\frac{27}{16}+6=\frac{35}{8},$$

$$y(-1)=4\cdot 2^{-3}-27\cdot 2^{-2}+3\cdot 2^{2}=\frac12-\frac{27}{4}+12=\frac{23}{4},$$

$$y(0)=4\cdot 2^0-27\cdot 2^0+3\cdot 2^3=4-27+24=1.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{23}{4},$$ наименьшее — $$1.$$

б) $$y=3^{3x}-2\cdot 3^{2x}+9\cdot 3^{x-2}, \quad x\in[-1;1].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3^{3x}\ln 3\cdot 3-2\cdot 3^{2x}\ln 3\cdot 2+9\cdot 3^{x-2}\ln 3.$$

Упростим:

$$y'(x)=3^x\ln 3\,(3\cdot 3^{2x}-4\cdot 3^x+1).$$

Положим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$3t^2-4t+1=0.$$

$$D=16-12=4,$$

$$t_1=\frac{4-2}{6}=\frac13,\qquad t_2=\frac{4+2}{6}=1.$$

Значит,

$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1,\qquad 3^x=1 \Rightarrow x=0.$$

На отрезке $$[-1;1]$$ проверим точки $$x=-1,0,1$$:

$$y(-1)=3^{-3}-2\cdot 3^{-2}+9\cdot 3^{-3}=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}=\frac{4}{27},$$

$$y(0)=3^0-2\cdot 3^0+9\cdot 3^{-2}=1-2+1=0,$$

$$y(1)=3^3-2\cdot 3^2+9\cdot 3^{-1}=27-18+3=12.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$12.$$

Ответ

а) $$1;\ \frac{23}{4}.$$

б) $$0;\ 12.$$