Упр.19.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 19.39. Найдите наименьшее и наибольшее значение заданной функции на заданном промежутке:
   а) $$y=x+\ln(-x)$$, $$[-4;-0,5]$$;
   б) $$y=x+e^{-x}$$, $$[-\ln 4;\ln 2]$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln(-x)$$ на отрезке $$[-4;\,-0{,}5].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}.$$

Так как $$x<0,$$ то производная обращается в нуль при $$x=-1.$$ Эта точка принадлежит отрезку, значит, проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$\begin{aligned} y(-4)&=-4+\ln 4=\ln 4-4,\\ y(-1)&=-1+\ln 1=-1,\\ y(-0{,}5)&=-0{,}5+\ln 0{,}5=\ln 0{,}5-0{,}5. \end{aligned}$$

Сравнивая значения, получаем: наименьшее значение равно $$\ln 4-4,$$ наибольшее — $$-1.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x+e^{-x}$$ на отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=1-e^{-x}.$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$1-e^{-x}=0 \;\Rightarrow\; e^{-x}=1 \;\Rightarrow\; x=0.$$

Она принадлежит отрезку, поэтому вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$\begin{aligned} y(-\ln 4)&=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4,\\ y(0)&=0+e^0=1,\\ y(\ln 2)&=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac12. \end{aligned}$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$1,$$ а наибольшее — $$4-\ln 4.$$

Ответ: а) $$\ln 4-4;\,-1.$$ б) $$1;\,4-\ln 4.$$