Упр.19.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=2\ln x^3-5x+\frac{x^2}{2}$$; б) $$y=\ln\left(\frac{1}{x^3}\right)+x^2+x+3$$.

а) $$y=2\ln x^3-5x+\frac{x^2}{2}=6\ln x-5x+\frac{x^2}{2}, \qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{6}{x}-5+x.$$

Исследуем знак производной:

$$\frac{6}{x}-5+x\ge 0.$$

Так как $$x>0,$$ умножим неравенство на $$x$$:

$$x^2-5x+6\ge 0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x-3\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in(0;2]\cup[3;+\infty).$$

Значит, функция возрастает на $$\left(0;2\right]$$ и $$\left[3;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[2;3\right].$$

В точке $$x=2$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке $$x=3$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

б) $$y=\ln\frac{1}{x^3}+x^2+x+3=-3\ln x+x^2+x+3, \qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$y’=-\frac{3}{x}+2x+1.$$

Исследуем знак производной:

$$-\frac{3}{x}+2x+1\ge 0.$$

Так как $$x>0,$$ умножим неравенство на $$x$$:

$$2x^2+x-3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$2x^2+x-3=\left(2x+3\right)\left(x-1\right).$$

Тогда

$$\left(2x+3\right)\left(x-1\right)\ge 0.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

$$x\in[1;+\infty).$$

Следовательно, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$

В точке $$x=1$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Ответ

а) Функция возрастает на $$\left(0;2\right]\cup\left[3;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[2;3\right].$$ $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

б) Функция убывает на $$\left(0;1\right],$$ возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$ $$x=1$$ — точка минимума.