Упр.19.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x-\ln x$$ на заданном отрезке: а) $$\left[\frac{1}{e};e\right]$$; б) $$\left[e;e^2\right]$$.
Рассмотрим функцию $$y=x-\ln x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$
Область определения: $$x>0.$$
Критическая точка: $$y'(x)=0 \Rightarrow x=1.$$
На промежутке $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1$$: при $$0<x<1$$ функция убывает, при $$x>1$$ — возрастает. Значит, в точке $$x=1$$ достигается минимум.
а) На отрезке $$\left[\frac{1}{e};\,e\right]$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}-\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}+1,$$
$$y(1)=1-\ln 1=1,$$
$$y(e)=e-\ln e=e-1.$$
Сравниваем: $$1<e-1<\frac{1}{e}+1.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$1$$, наибольшее — $$\frac{1}{e}+1.$$
б) На отрезке $$\left[e;\,e^2\right]$$
Так как $$e>1$$, на всём отрезке функция возрастает. Поэтому минимум достигается в левой границе, а максимум — в правой:
$$y(e)=e-\ln e=e-1,$$
$$y(e^2)=e^2-\ln e^2=e^2-2.$$
Значит, наименьшее значение равно $$e-1$$, наибольшее — $$e^2-2.$$
Ответ
а) $$\min y=1,\ \max y=\frac{1}{e}+1.$$
б) $$\min y=e-1,\ \max y=e^2-2.$$
