Упр.19.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=x+\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$; б) $$y=x^4-4\ln x$$.
а) $$y=x+\ln\frac{1}{x}=x-\ln x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$
Область определения функции: $$x>0.$$
Исследуем знак производной на области определения:
$$\begin{cases} 0<x<1, & y'(x)<0,\\ x=1, & y'(x)=0,\\ x>1, & y'(x)>0. \end{cases}$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$
В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y_{\min}=y(1)=1+\ln 1=1.$$
б) $$y=x^4-4\ln x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=4x^3-\frac{4}{x}=4\left(x^3-\frac{1}{x}\right)=\frac{4(x^4-1)}{x}.$$
Область определения функции: $$x>0.$$
Рассмотрим знак производной:
$$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).$$
При $$x>0$$ знак $$y'(x)$$ определяется множителем $$x^4-1$$:
$$\begin{cases} 0<x<1, & y'(x)<0,\\ x=1, & y'(x)=0,\\ x>1, & y'(x)>0. \end{cases}$$
Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$
В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y_{\min}=y(1)=1-4\ln 1=1.$$
Ответ
а) $$y$$ убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y_{\min}=1$$.
б) $$y$$ убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y_{\min}=1$$.
