Упр.19.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каком значении параметра $$a$$: а) прямая $$y=3x-4+a$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(3x-4)$$; б) прямая $$y=2x+3+a$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(2x+3)$$?

а) Найдём производную функции $$y=\ln(3x-4):$$

$$y’=\frac{3}{3x-4}.$$

Так как прямая $$y=3x-4+a$$ является касательной, её угловой коэффициент равен производной в точке касания:

$$\frac{3}{3x_0-4}=3.$$

Отсюда

$$3=3(3x_0-4),$$

$$1=3x_0-4,$$

$$3x_0=5,$$

$$x_0=\frac{5}{3}.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$y_0=\ln\left(3\cdot\frac{5}{3}-4\right)=\ln 1=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=0+3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5.$$

Сравнивая с $$y=3x-4+a,$$ получаем

$$3x-4+a=3x-5,$$

$$a=-1.$$

б) Найдём производную функции $$y=\ln(2x+3):$$

$$y’=\frac{2}{2x+3}.$$

По условию касательная имеет угловой коэффициент $$2$$, значит

$$\frac{2}{2x_0+3}=2.$$

Отсюда

$$2=2(2x_0+3),$$

$$1=2x_0+3,$$

$$2x_0=-2,$$

$$x_0=-1.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$y_0=\ln(2\cdot(-1)+3)=\ln 1=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=0+2(x+1)=2x+2.$$

Сравнивая с $$y=2x+3+a,$$ получаем

$$2x+3+a=2x+2,$$

$$a=-1.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-1$$.