Упр.19.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат: а) $$y=\ln x$$; б) $$y=\ln x^3$$.

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$x=a$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а) $$y=\ln x$$

$$f(a)=\ln a, \qquad f'(x)=\frac{1}{x}, \qquad f'(a)=\frac{1}{a}.$$

Тогда

$$y=\ln a+\frac{1}{a}(x-a).$$

Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$, $$y=0$$:

$$0=\ln a+\frac{1}{a}(0-a)=\ln a-1.$$

Отсюда

$$\ln a=1,\qquad a=e.$$

Подставим найденное значение:

$$y=\ln e+\frac{1}{e}(x-e)=1+\frac{x}{e}-1=\frac{x}{e}.$$

б) $$y=\ln x^3$$

Так как $$x^3>0$$, имеем

$$y=\ln x^3=3\ln x.$$

Тогда

$$f(a)=3\ln a, \qquad f'(x)=\frac{3}{x}, \qquad f'(a)=\frac{3}{a}.$$

Уравнение касательной:

$$y=3\ln a+\frac{3}{a}(x-a).$$

Поскольку касательная проходит через начало координат, получаем

$$0=3\ln a+\frac{3}{a}(0-a)=3\ln a-3.$$

Следовательно,

$$\ln a=1,\qquad a=e.$$

Подставим $$a=e$$:

$$y=3\ln e+\frac{3}{e}(x-e)=3+\frac{3x}{e}-3=\frac{3x}{e}.$$

Ответ

а) $$y=\frac{x}{e}$$; б) $$y=\frac{3x}{e}$$.