Упр.19.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Напишите уравнение той касательной к графику функции $$y=f(x)$$, которая параллельна прямой $$y=kx+m$$:

а) $$f(x)=\ln(3x+2)$$, $$y=x+7$$;

б) $$f(x)=\ln(x^2+x)$$, $$y=1{,}5x+4$$.

Для касательной, параллельной прямой $$y=kx+m,$$ её угловой коэффициент должен быть равен $$k.$$ Поэтому находим точку касания из условия $$f'(x_0)=k,$$ а затем используем формулу касательной:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

а)

$$f(x)=\ln(3x+2), \qquad y=x+7.$$

Здесь $$k=1.$$ Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{3x+2}.$$

Приравниваем к $$1$$:

$$\frac{3}{3x+2}=1,$$

$$3=3x+2,$$

$$x_0=\frac13.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\!\left(\frac13\right)=\ln\!\left(3\cdot\frac13+2\right)=\ln 3.$$

Уравнение касательной:

$$y=\ln 3+1\left(x-\frac13\right)=\ln 3+x-\frac13.$$

б)

$$f(x)=\ln(x^2+x), \qquad y=1{,}5x+4.$$

Здесь $$k=1{,}5=\frac32.$$ Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x}.$$

Приравниваем к $$\frac32$$:

$$\frac{2x+1}{x^2+x}=\frac32,$$

$$2(2x+1)=3(x^2+x),$$

$$4x+2=3x^2+3x,$$

$$3x^2-x-2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6},$$

$$x_1=1,\qquad x_2=-\frac23.$$

Проверим область определения:

$$x^2+x>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x(x+1)>0,$$

откуда $$x<-1$$ или $$x>0.$$

Точка $$x=-\frac23$$ не подходит, а $$x_0=1$$ подходит.

Найдём значение функции:

$$f(1)=\ln(1^2+1)=\ln 2.$$

Уравнение касательной:

$$y=\ln 2+\frac32(x-1)=\ln 2+1{,}5x-1{,}5.$$

Ответ

а) $$y=\ln 3+x-\frac13.$$

б) $$y=\ln 2+1{,}5x-1{,}5.$$