Упр.19.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:

а) $$f(x)=x^5-\ln x$$, $$a=1$$; в) $$f(x)=-2x\ln x$$, $$a=e$$; б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$$, $$a=1$$; г) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\ln x$$, $$a=1$$.

а) $$f(x)=x^5-\ln x,\quad a=1$$

$$f(1)=1^5-\ln 1=1$$

$$f'(x)=5x^4-\frac1x,\qquad f'(1)=5-\!1=4$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

$$y=1+4(x-1)=4x-3$$

б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x^2},\quad a=1$$

$$f(1)=\frac{\ln 1}{1^2}=0$$

$$f'(x)=\frac{(\ln x)’\cdot x^2-\ln x\cdot (x^2)’}{(x^2)^2} =\frac{\frac1x\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4} =\frac{x-2x\ln x}{x^4}$$

$$f'(1)=\frac{1-2\cdot 1\cdot \ln 1}{1^4}=1$$

$$y=0+1(x-1)=x-1$$

в) $$f(x)=-2x\ln x,\quad a=e$$

$$f(e)=-2e\ln e=-2e$$

$$f'(x)=(-2x)’\ln x-2x(\ln x)’=-2\ln x-2x\cdot \frac1x=-2\ln x-2$$

$$f'(e)=-2\ln e-2=-4$$

$$y=-2e-4(x-e)=2e-4x$$

г) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\,\ln x,\quad a=1$$

$$f(1)=\sqrt[3]{1}\cdot \ln 1=0$$

$$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’\ln x+\sqrt[3]{x}\,(\ln x)’$$

$$f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\ln x+\sqrt[3]{x}\cdot \frac1x =\frac{\ln x}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} =\frac{\ln x+3}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

$$f'(1)=\frac{\ln 1+3}{3\sqrt[3]{1^2}}=1$$

$$y=0+1(x-1)=x-1$$

Ответ: а) $$y=4x-3$$; б) $$y=x-1$$; в) $$y=2e-4x$$; г) $$y=x-1$$.