Упр.19.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Докажите, что функция $$y=\sqrt{\ln x}$$ удовлетворяет уравнению $$2xyy’=1$$.
   б) Докажите, что функция $$y=e^{\frac{1}{x}}$$ удовлетворяет уравнению $$y+x^2y’=0$$.

а) $$y=\sqrt{\ln x}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}.$$

Тогда

$$2xyy’=2x\cdot \sqrt{\ln x}\cdot \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}=1.$$

Что и требовалось доказать.

б) $$y=e^{1/x}$$

Найдём производную:

$$y’=e^{1/x}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{e^{1/x}}{x^2}.$$

Тогда

$$y+x^2y’=e^{1/x}+x^2\cdot \left(-\frac{e^{1/x}}{x^2}\right)=e^{1/x}-e^{1/x}=0.$$

Что и требовалось доказать.