Упр.19.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\ln\left(2x^3-\frac{3}{x}\right)$$; в) $$y=\ln(2\operatorname{tg}x+x)$$; б) $$y=\ln 2(3x-4)$$; г) $$y=\frac{1}{\sqrt[5]{\ln 2x}}$$.

Найдём производные по правилу дифференцирования логарифма и цепному правилу.

1. $$y=\ln\left(2x^3-\frac{3}{x}\right)$$

   $$y’=\frac{\left(2x^3-\frac{3}{x}\right)’}{2x^3-\frac{3}{x}}=\frac{6x^2+\frac{3}{x^2}}{2x^3-\frac{3}{x}}=\frac{6x^4+3}{2x^5-3x}.$$

2. $$y=\ln^2(3x-4)$$

   $$y’=2\ln(3x-4)\cdot\frac{(3x-4)’}{3x-4}=2\ln(3x-4)\cdot\frac{3}{3x-4}=\frac{6\ln(3x-4)}{3x-4}.$$

3. $$y=\ln(2\tg x+x)$$

   $$y’=\frac{(2\tg x+x)’}{2\tg x+x}=\frac{\frac{2}{\cos^2 x}+1}{2\tg x+x}.$$

   Приведём к общему виду:

   $$y’=\frac{2+\cos^2 x}{(2\tg x+x)\cos^2 x}=\frac{2+\cos^2 x}{2\sin x\cos x+x\cos^2 x}=\frac{2+\cos^2 x}{\sin 2x+x\cos^2 x}.$$

4. $$y=\frac{1}{\sqrt[5]{\ln 2x}}=(\ln 2x)^{-\frac15}$$

   $$y’=-\frac15(\ln 2x)^{-\frac65}\cdot\frac{2}{2x}=-\frac{1}{5x(\ln 2x)^{\frac65}}=-\frac{1}{5x\ln 2x\sqrt[5]{(\ln 2x)^6}}.$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=\frac{6x^4+3}{2x^5-3x}; \\ &\text{б) } y’=\frac{6\ln(3x-4)}{3x-4}; \\ &\text{в) } y’=\frac{2+\cos^2 x}{\sin 2x+x\cos^2 x}; \\ &\text{г) } y’=-\frac{1}{5x(\ln 2x)^{\frac65}}. \end{aligned}$$