Упр.19.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$f(x)=x^3e^x$$; в) $$f(x)=x^2e^x$$; б) $$f(x)=\frac{e^x}{x}$$; г) $$f(x)=\frac{e^x}{x^3}$$.

Используем правило произведения и правило дифференцирования частного:

$$\left(uv\right)’=u’v+uv’,$$

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$

1. $$f(x)=x^3e^x$$

   $$f'(x)=(x^3)’e^x+x^3(e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).$$

2. $$f(x)=\frac{e^x}{x}$$

   $$f'(x)=\frac{(e^x)’x-e^x(x)’}{x^2}=\frac{e^xx-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

3. $$f(x)=x^2e^x$$

   $$f'(x)=(x^2)’e^x+x^2(e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x).$$

4. $$f(x)=\frac{e^x}{x^3}$$

   $$f'(x)=\frac{(e^x)’x^3-e^x(x^3)’}{x^6}=\frac{e^xx^3-3x^2e^x}{x^6}=\frac{e^x(x-3)}{x^4}.$$

Ответ: а) $$x^2e^x(3+x)$$; б) $$\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$; в) $$xe^x(2+x)$$; г) $$\frac{e^x(x-3)}{x^4}$$.