Упр.19.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=\log_x(x+1)$$; б) $$y=\log_{x-1}(x^2)$$

Используем формулу производной частного:

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$

а)

$$y=\log_x(x+1)=\frac{\ln(x+1)}{\ln x}.$$

Тогда

$$y’=\frac{\left(\ln(x+1)\right)’\ln x-\ln(x+1)\left(\ln x\right)’}{(\ln x)^2}.$$

Так как $$\left(\ln(x+1)\right)’=\frac1{x+1}, \qquad \left(\ln x\right)’=\frac1x,$$ получаем

$$y’=\frac{\frac1{x+1}\ln x-\ln(x+1)\cdot\frac1x}{(\ln x)^2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{x\ln x-(x+1)\ln(x+1)}{x(x+1)\ln^2 x}.$$

б)

$$y=\log_{x-1}x^2=\frac{\ln x^2}{\ln(x-1)}=\frac{2\ln x}{\ln(x-1)}.$$

Тогда

$$y’=\frac{(2\ln x)’\ln(x-1)-2\ln x\cdot(\ln(x-1))’}{\ln^2(x-1)}.$$

Так как $$(2\ln x)’=\frac2x, \qquad (\ln(x-1))’=\frac1{x-1},$$ имеем

$$y’=\frac{\frac2x\ln(x-1)-2\ln x\cdot\frac1{x-1}}{\ln^2(x-1)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{2(x-1)\ln(x-1)-2x\ln x}{x(x-1)\ln^2(x-1)}.$$

Ответ

$$\text{а) } y’=\frac{x\ln x-(x+1)\ln(x+1)}{x(x+1)\ln^2 x}; \qquad \text{б) } y’=\frac{2(x-1)\ln(x-1)-2x\ln x}{x(x-1)\ln^2(x-1)}.$$