Упр.19.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=7x\ln(2x+3)$$; б) $$y=\frac{\log_5(3x+2)}{x^5}$$; в) $$y=x^2\log_{\frac{1}{2}}(3x-1)$$; г) $$y=\frac{\ln(2x-1)}{3x}$$.

Найдём производные по правилам дифференцирования произведения и частного.

1. $$y=7^x\ln(2x+3)$$

   $$y’=(7^x)’\ln(2x+3)+7^x\bigl(\ln(2x+3)\bigr)’$$

   $$y’=7^x\ln 7\cdot \ln(2x+3)+7^x\cdot \frac{2}{2x+3}$$

   $$y’=7^x\left(\ln 7\cdot \ln(2x+3)+\frac{2}{2x+3}\right)$$

2. $$y=\frac{\log_5(3x+2)}{x^5}$$

   $$y’=\frac{(\log_5(3x+2))’\cdot x^5-\log_5(3x+2)\cdot (x^5)’}{(x^5)^2}$$

   $$y’=\frac{\frac{3}{(3x+2)\ln 5}\cdot x^5-\log_5(3x+2)\cdot 5x^4}{x^{10}}$$

   $$y’=\frac{3x^5}{(3x+2)\ln 5}-\frac{5\log_5(3x+2)}{x^6}$$

3. $$y=x^2\log_{\frac12}(3x-1)$$

   $$y’=(x^2)’\log_{\frac12}(3x-1)+x^2\bigl(\log_{\frac12}(3x-1)\bigr)’$$

   $$y’=2x\log_{\frac12}(3x-1)+x^2\cdot \frac{3}{(3x-1)\ln \frac12}$$

4. $$y=\frac{\ln(2x-1)}{3^x}$$

   $$y’=\frac{(\ln(2x-1))’\cdot 3^x-\ln(2x-1)\cdot (3^x)’}{(3^x)^2}$$

   $$y’=\frac{\frac{2}{2x-1}\cdot 3^x-\ln(2x-1)\cdot 3^x\ln 3}{3^{2x}}$$

   $$y’=\frac{\frac{2}{2x-1}-\ln(2x-1)\ln 3}{3^x}$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=7^x\left(\ln 7\cdot \ln(2x+3)+\frac{2}{2x+3}\right);\\ &\text{б) } y’=\frac{3x^5}{(3x+2)\ln 5}-\frac{5\log_5(3x+2)}{x^6};\\ &\text{в) } y’=2x\log_{\frac12}(3x-1)+x^2\cdot \frac{3}{(3x-1)\ln \frac12};\\ &\text{г) } y’=\frac{\frac{2}{2x-1}-\ln(2x-1)\ln 3}{3^x}. \end{aligned}$$