Упр.19.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

19. 19.27. Найдите производную функции:
    а) $$y=2^x-\log_3(x-1);$$
    б) $$y=3^{-x}+2\log_{\frac{1}{2}}x;$$
    в) $$y=5^x-7\log_{\frac{1}{3}}(x+1);$$
    г) $$y=\left(\frac{1}{7}\right)^x+\log_5(x+4).$$

Используем формулы:

$$\left(a^x\right)’=a^x\ln a,$$

$$\left(\log_a x\right)’=\frac{1}{x\ln a}.$$

Ход решения

1. $$y=2^x-\log_3(x-1)$$

   $$y’=2^x\ln 2-\frac{1}{(x-1)\ln 3}.$$

2. $$y=3^{-x}+2\log_{\frac12}x$$

   $$y’=-3^{-x}\ln 3+2\cdot\frac{1}{x\ln \frac12}.$$

   Так как $$\ln \frac12=-\ln 2,$$ то

   $$y’=-3^{-x}\ln 3-\frac{2}{x\ln 2}.$$

3. $$y=5^x-7\log_{\frac13}(x+1)$$

   $$y’=5^x\ln 5-7\cdot\frac{1}{(x+1)\ln \frac13}.$$

   Так как $$\ln \frac13=-\ln 3,$$ то

   $$y’=5^x\ln 5+\frac{7}{(x+1)\ln 3}.$$

4. $$y=\left(\frac17\right)^x+\log_5(x+4)$$

   $$y’=\left(\frac17\right)^x\ln \frac17+\frac{1}{(x+4)\ln 5}.$$

   Так как $$\ln \frac17=-\ln 7,$$ то

   $$y’=-\left(\frac17\right)^x\ln 7+\frac{1}{(x+4)\ln 5}.$$

Ответ

а) $$y’=2^x\ln 2-\frac{1}{(x-1)\ln 3}$$;
б) $$y’=-3^{-x}\ln 3-\frac{2}{x\ln 2}$$;
в) $$y’=5^x\ln 5+\frac{7}{(x+1)\ln 3}$$;
г) $$y’=-\left(\frac17\right)^x\ln 7+\frac{1}{(x+4)\ln 5}$$.