Упр.19.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

19.25. Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:

а) $$y=\ln x+x$$, $$x_0=\frac{1}{7}$$;

в) $$y=x^2-\ln x$$, $$x_0=0{,}5$$;

б) $$y=x^3\ln x$$, $$x_0=e$$;

г) $$y=\frac{\ln x}{x}$$, $$x_0=1$$.

Найдём производную каждой функции и подставим заданное значение аргумента.

1. $$y=\ln x+x,\quad x_0=\frac17$$

   $$y’=\frac1x+1$$

   $$y’\!\left(\frac17\right)=\frac{1}{1/7}+1=7+1=8$$

   Ответ: $$8$$

2. $$y=x^3\ln x,\quad x_0=e$$

   По правилу произведения:

   $$y’=(x^3)’\ln x+x^3(\ln x)’=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac1x=3x^2\ln x+x^2$$

   $$y’=x^2(3\ln x+1)$$

   $$y'(e)=e^2(3\ln e+1)=e^2(3\cdot1+1)=4e^2$$

   Ответ: $$4e^2$$

3. $$y=x^2-\ln x,\quad x_0=0{,}5$$

   $$y’=2x-\frac1x$$

   $$y'(0{,}5)=2\cdot0{,}5-\frac1{0{,}5}=1-2=-1$$

   Ответ: $$-1$$

4. $$y=\frac{\ln x}{x},\quad x_0=1$$

   По правилу производной частного:

   $$y’=\frac{(\ln x)’\cdot x-\ln x\cdot x’}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

   $$y'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=\frac{1-0}{1}=1$$

   Ответ: $$1$$