Упр.19.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите производную функции: а) $$y=x^2\ln x$$; б) $$y=\frac{\ln x}{x+1}$$; в) $$y=\frac{x}{\ln x}$$; г) $$y=(x-5)\ln x$$.

Найдём производные по правилам дифференцирования произведения и частного.

1. $$y=x^2\ln x$$

   $$y’=(x^2)’\ln x+x^2(\ln x)’=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$

   Ответ: $$x(2\ln x+1).$$

2. $$y=\frac{\ln x}{x+1}$$

   $$y’=\frac{(\ln x)'(x+1)-\ln x\,(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{\frac1x(x+1)-\ln x}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x\ln x}{x(x+1)^2}.$$

   Ответ: $$\frac{x+1-x\ln x}{x(x+1)^2}.$$

3. $$y=\frac{x}{\ln x}$$

   $$y’=\frac{x’\ln x-x(\ln x)’}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-x\cdot\frac1x}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}.$$

   Ответ: $$\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}.$$

4. $$y=(x-5)\ln x$$

   $$y’=(x-5)’\ln x+(x-5)(\ln x)’=\ln x+\frac{x-5}{x}=\ln x+1-\frac5x.$$

   Ответ: $$\ln x+1-\frac5x.$$