Упр.19.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=x^6e^{-x}$$ на интервале $$(a;\,a+7)$$: а) имеет одну точку экстремума; б) имеет две точки экстремума; в) убывает; г) возрастает?

Найдём производную функции $$y=x^6e^{-x}$$:

$$y’=(x^6)’e^{-x}+x^6(e^{-x})’=6x^5e^{-x}-x^6e^{-x}=x^5e^{-x}(6-x).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при любых $$x$$, знак производной определяется выражением $$x^5(6-x)$$.

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=6$$.

Исследуем знак $$y’$$:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,0) & 0 & (0,6) & 6 & (6,+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$(6,+\infty)$$, возрастает на $$(0,6)$$. Точка $$x=0$$ — точка минимума, $$x=6$$ — точка максимума.

Ответ

а) $$a\in(-7;-1]\cup[0;6)$$;
б) $$a\in(-1;0)$$;
в) $$a\in(-\infty;-7]\cup[6;+\infty)$$;
г) $$a\in\varnothing$$.