Упр.19.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^2e^x$$ на заданном отрезке: а) $$[-1;1]$$; б) $$[-3;1]$$; в) $$[-3;-1]$$; г) $$[1;3]$$.
Найдём производную функции $$y=x^2e^x$$:
$$y’=(x^2)’e^x+x^2(e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$
Так как $$e^x>0$$ при любых $$x$$, то знак производной определяется выражением $$x(x+2)$$. Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
а) На отрезке $$[-1;1]$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке $$x=0$$:
$$y(-1)=(-1)^2e^{-1}=\frac{1}{e},$$
$$y(0)=0^2e^0=0,$$
$$y(1)=1^2e^1=e.$$
Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$e$$.
б) На отрезке $$[-3;1]$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках $$x=-2$$ и $$x=0$$:
$$y(-3)=(-3)^2e^{-3}=\frac{9}{e^3},$$
$$y(-2)=(-2)^2e^{-2}=\frac{4}{e^2},$$
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=e.$$
Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$e$$.
в) На отрезке $$[-3;-1]$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке $$x=-2$$:
$$y(-3)=\frac{9}{e^3},$$
$$y(-2)=\frac{4}{e^2},$$
$$y(-1)=\frac{1}{e}.$$
Сравнивая эти значения, получаем:
наименьшее значение $$\frac{9}{e^3}$$, наибольшее значение $$\frac{1}{e}$$.
г) На отрезке $$[1;3]$$
Проверим значения функции в концах отрезка:
$$y(1)=e,$$
$$y(3)=3^2e^3=9e^3.$$
Наименьшее значение: $$e$$, наибольшее значение: $$9e^3$$.
Ответ
а) $$0$$; $$e$$.
б) $$0$$; $$e$$.
в) $$\frac{9}{e^3}$$; $$\frac{1}{e}$$.
г) $$e$$; $$9e^3$$.
