Упр.19.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=e^{2x}-3e^x+x+4$$; б) $$y=1-3x+5e^x-e^{2x}$$

а) $$y=e^{2x}-3e^x+x+4.$$

Найдём производную:

$$y’=(e^{2x})’-3(e^x)’+(x+4)’=2e^{2x}-3e^x+1.$$

Обозначим $$t=e^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$y’=2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1).$$

Критические точки:

$$2t-1=0 \Rightarrow t=\frac12,\qquad t-1=0 \Rightarrow t=1.$$

Так как $$t=e^x,>0,$$ получаем

$$e^x=\frac12 \Rightarrow x=\ln\frac12,\qquad e^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Исследуем знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;\ln\tfrac12)\cup(0;+\infty),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in(\ln\tfrac12;0).$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\ln\tfrac12]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$[\ln\tfrac12;0].$$

В точке $$x=\ln\frac12$$ — максимум, в точке $$x=0$$ — минимум.

б) $$y=1-3x+5e^x-e^{2x}.$$

Найдём производную:

$$y’=-3+5e^x-2e^{2x}.$$

Обозначим $$t=e^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$y’=-3+5t-2t^2=-(2t^2-5t+3)=-(2t-3)(t-1).$$

Критические точки:

$$2t-3=0 \Rightarrow t=\frac32,\qquad t-1=0 \Rightarrow t=1.$$

Отсюда

$$e^x=1 \Rightarrow x=0,\qquad e^x=\frac32 \Rightarrow x=\ln\frac32.$$

Исследуем знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(0;\ln\tfrac32),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(\ln\tfrac32;+\infty).$$

Значит, функция возрастает на $$[0;\ln\tfrac32],$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[\ln\tfrac32;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=\ln\frac32$$ — максимум.

Ответ

а) Возрастает на $$(-\infty;\ln\frac12]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$[\ln\frac12;0].$$ Максимум при $$x=\ln\frac12,$$ минимум при $$x=0.$$

б) Возрастает на $$[0;\ln\frac32],$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[\ln\frac32;+\infty).$$ Минимум при $$x=0,$$ максимум при $$x=\ln\frac32.$$