Упр.19.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 19.18. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) $$y=x^2e^x$$;
б) $$y=xe^{2x-4}$$;
в) $$y=x^3e^x$$;
г) $$y=\frac{e^x}{x}$$.
а) $$y=x^2e^x$$
Найдём производную:
$$y’=(x^2)’e^x+x^2(e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x(x+2)$$.
$$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty),$$
$$y'<0$$ при $$x\in(-2;0).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0]$$.
В точке $$x=-2$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке $$x=0$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
б) $$y=xe^{2x-4}$$
Найдём производную:
$$y’=(x)’e^{2x-4}+x(e^{2x-4})’=e^{2x-4}+2xe^{2x-4}=e^{2x-4}(1+2x).$$
Так как $$e^{2x-4}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$1+2x$$.
$$y'<0$$ при $$x<-\frac12,$$
$$y’>0$$ при $$x>-\frac12.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$ и возрастает на $$[-\frac12;+\infty).$$
Точка $$x=-\frac12$$ — точка минимума.
в) $$y=x^3e^x$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3)’e^x+x^3(e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3).$$
Так как $$x^2\ge 0$$ и $$e^x>0$$, знак производной определяется выражением $$x+3$$.
$$y'<0$$ при $$x<-3,$$
$$y’>0$$ при $$x>-3.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$
Точка $$x=-3$$ — точка минимума.
г) $$y=\dfrac{e^x}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$y’=\dfrac{(e^x)’x-e^x(x)’}{x^2}=\dfrac{e^xx-e^x}{x^2}=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}.$$
Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется выражением $$x-1$$.
$$y'<0$$ при $$x<1,\ x\ne 0,$$
$$y’>0$$ при $$x>1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
Точка $$x=1$$ — точка минимума.
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$; максимум при $$x=-2$$, минимум при $$x=0$$.
б) убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$, возрастает на $$[-\frac12;+\infty)$$; минимум при $$x=-\frac12$$.
в) убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty)$$; минимум при $$x=-3$$.
г) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$; минимум при $$x=1$$.
