Упр.19.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат:
а) $$y=e^{x/2}$$;
б) $$y=e^{x/3}$$.
Для касательной к графику функции $$y=f(x)$$, проходящей через начало координат, используем уравнение касательной в точке $$x=a$$:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
а) $$y=e^{x/2}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(e^{x/2}\right)’=\frac12 e^{x/2}.$$
Тогда уравнение касательной в точке $$x=a$$ имеет вид:
$$y=e^{a/2}+\frac12 e^{a/2}(x-a).$$
Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$ и $$y=0$$:
$$0=e^{a/2}+\frac12 e^{a/2}(0-a).$$
$$0=e^{a/2}\left(1-\frac a2\right).$$
Так как $$e^{a/2}\neq 0$$, получаем:
$$1-\frac a2=0,\qquad a=2.$$
Подставим $$a=2$$ в уравнение касательной:
$$y=e^{1}+\frac12 e^{1}(x-2).$$
$$y=e+\frac e2x-e=\frac e2x.$$
б) $$y=e^{x/3}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(e^{x/3}\right)’=\frac13 e^{x/3}.$$
Уравнение касательной в точке $$x=a$$:
$$y=e^{a/3}+\frac13 e^{a/3}(x-a).$$
Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$ и $$y=0$$:
$$0=e^{a/3}+\frac13 e^{a/3}(0-a).$$
$$0=e^{a/3}\left(1-\frac a3\right).$$
Следовательно,
$$1-\frac a3=0,\qquad a=3.$$
Тогда
$$y=e+\frac13 e(x-3).$$
$$y=e+\frac e3x-e=\frac e3x.$$
Ответ
а) $$y=\frac e2x$$; б) $$y=\frac e3x$$.
