Упр.19.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Напишите уравнение той касательной к графику функции $$y=e^{2x}$$, которая параллельна прямой $$y=2e^x-5$$.
   б) Докажите, что касательная к графику функции $$y=e^{x^3-x}$$ в точке $$x=1$$ параллельна прямой $$y=2x+3$$.

а) Найдём производную функции $$y=e^{2x}.$$

$$y’=(e^{2x})’=2e^{2x}.$$

Касательная параллельна прямой $$y=2ex-5,$$ значит, её угловой коэффициент равен $$2e.$$ Тогда

$$2e^{2x}=2e,$$

$$e^{2x}=e,$$

$$2x=1,$$

$$x=\frac12.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y\left(\frac12\right)=e^{2\cdot \frac12}=e.$$

Уравнение касательной:

$$y=e+2e\left(x-\frac12\right)=2ex.$$

Ответ: $$y=2ex.$$

б) Для функции $$y=e^{x^3-x}$$ найдём производную:

$$y’=(e^{x^3-x})’=(3x^2-1)e^{x^3-x}.$$

В точке $$x=1$$ получаем:

$$y'(1)=(3\cdot 1^2-1)e^{1^3-1}=2e^0=2.$$

У прямой $$y=2x+3$$ угловой коэффициент тоже равен $$2$$. Следовательно, касательная к графику функции в точке $$x=1$$ параллельна этой прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: $$y'(1)=2,$$ значит, касательная параллельна прямой $$y=2x+3.$$