Упр.19.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Является ли заданная прямая касательной к графику данной функции в указанной точке:
- а) $$y=3e^2(x)-3e^2$$; $$y=e^{3x-1}-e^2$$; $$x=1$$;
б) $$y=x+e$$; $$y=xe^x$$; $$x=0$$?
Проверим, проходит ли заданная прямая через точку касания и совпадает ли её угловой коэффициент с производной функции в этой точке.
а)
$$y=3e^{2x}-3e^2,\qquad y=e^{3x-1}-e^2,\qquad x=1.$$
Найдём значение функции в точке $$x=1$$:
$$y(1)=3e^{2\cdot 1}-3e^2=3e^2-3e^2=0,$$
$$y(1)=e^{3\cdot 1-1}-e^2=e^2-e^2=0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\left(e^{3x-1}\right)’-(e^2)’=3e^{3x-1}.$$
Тогда
$$y'(1)=3e^{3\cdot 1-1}=3e^2.$$
Уравнение касательной в точке $$x=1$$:
$$y=0+3e^2(x-1)=3e^2x-3e^2.$$
Это и есть заданная прямая, значит, она является касательной.
б)
$$y=x+e,\qquad y=xe^x,\qquad x=0.$$
Найдём значение функции в точке $$x=0$$:
$$y(0)=0+e=e,$$
$$y(0)=0\cdot e^0=0.$$
Точка $$x=0$$ не принадлежит первой прямой как точке касания для функции $$y=xe^x$$, значит, эта прямая не является касательной.
Можно также проверить производную:
$$y'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x),$$
$$y'(0)=1.$$
Касательная к графику функции в точке $$x=0$$ имеет вид
$$y=0+1\cdot(x-0)=x,$$
а не $$y=x+e$$.
Ответ: а) да; б) нет.
