Упр.19.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Напишите уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:

• а) $$y=e^{3x-1}$$, $$a=\frac{1}{3}$$;
• в) $$y=\frac{2}{e^x}$$, $$a=0$$;
• б) $$y=xe^{-2x+1}$$, $$a=0{,}5$$;
• г) $$y=\frac{e^x}{x+1}$$, $$a=0$$.

Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

1. $$y=e^{3x-1}, \quad a=\frac13.$$

   $$f\!\left(\frac13\right)=e^{3\cdot \frac13-1}=e^0=1,$$

   $$f'(x)=3e^{3x-1}, \quad f’\!\left(\frac13\right)=3e^0=3.$$

   Тогда

   $$y=1+3\left(x-\frac13\right)=3x.$$

2. $$y=xe^{-2x+1}, \quad a=0{,}5.$$

   $$f(0{,}5)=0{,}5\cdot e^{-2\cdot 0{,}5+1}=0{,}5,$$

   $$f'(x)=e^{-2x+1}+x\cdot(-2)e^{-2x+1}=e^{-2x+1}(1-2x),$$

   $$f'(0{,}5)=e^0(1-1)=0.$$

   Следовательно,

   $$y=0{,}5+0\cdot(x-0{,}5)=0{,}5.$$

3. $$y=\frac{2}{e^x}, \quad a=0.$$

   $$f(0)=\frac{2}{e^0}=2,$$

   $$f'(x)=2\left(e^{-x}\right)’=-2e^{-x}, \quad f'(0)=-2.$$

   Тогда

   $$y=2-2(x-0)=2-2x.$$

4. $$y=\frac{e^x}{x+1}, \quad a=0.$$

   $$f(0)=\frac{e^0}{0+1}=1,$$

   $$f'(x)=\frac{(e^x)'(x+1)-e^x(x+1)’}{(x+1)^2} =\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2} =\frac{xe^x}{(x+1)^2},$$

   $$f'(0)=0.$$

   Следовательно,

   $$y=1+0\cdot(x-0)=1.$$

Ответ: а) $$y=3x$$; б) $$y=0{,}5$$; в) $$y=2-2x$$; г) $$y=1$$.