Упр.19.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство $$g'(x) а) $$g(x)=6-\frac{1}{2}e^{2x-3},\quad a=4$$;
   б) $$g(x)=x+e^{4x-3},\quad a=5$$;
   в) $$g(x)=\frac{1}{3}e^{3x+5},\quad a=\frac{1}{e}$$;
   г) $$g(x)=e^{9x+21}-x,\quad a=8$$.

а) $$g(x)=6-\frac12 e^{2x-3}, \quad a=\frac1{e^3}$$

Найдём производную:

$$g'(x)=0-\frac12 \cdot 2e^{2x-3}=-e^{2x-3}.$$

Решим неравенство:

$$-e^{2x-3}<\frac1{e^3}.$$

Так как $$\frac1{e^3}=e^{-3},$$ то

$$-e^{2x-3}

Правая часть положительна, а левая отрицательна при всех $$x$$, значит неравенство верно при любом $$x$$.

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

б) $$g(x)=x+e^{4x-3}, \quad a=5$$

$$g'(x)=1+4e^{4x-3}.$$

Решим неравенство:

$$1+4e^{4x-3}<5$$

$$4e^{4x-3}<4$$

$$e^{4x-3}<1$$

$$4x-3<0$$

$$x<\frac34.$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\frac34\right).$$

в) $$g(x)=\frac13 e^{3x+5}, \quad a=\frac1e$$

$$g'(x)=\frac13\cdot 3e^{3x+5}=e^{3x+5}.$$

Решим неравенство:

$$e^{3x+5}<\frac1e=e^{-1}$$

$$e^{3x+5}

$$3x+5<-1$$

$$3x<-6$$

$$x<-2.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-2).$$

г) $$g(x)=e^{9x+21}-x, \quad a=8$$

$$g'(x)=9e^{9x+21}-1.$$

Решим неравенство:

$$9e^{9x+21}-1<8$$

$$9e^{9x+21}<9$$

$$e^{9x+21}<1$$

$$9x+21<0$$

$$9x<-21$$

$$x<-\frac73.$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac73\right).$$