Упр.18.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_{x-3}(6-x)>\log_{x-3}(x^2)$$; б) $$\log_{\pi-2}(x^2+22)<\log_{\pi-2}(13x)$$; в) $$\log_{3-0{,}5\pi}(x-6)\leq\log_{3-0{,}5\pi}(6-x^2)$$; г) $$\log_{3{,}2-\pi}(x^2-27)>\log_{3{,}2-\pi}(6x)$$.

а) Так как основание логарифма $$\pi-3>1,$$ то сравниваем подлогарифмические выражения:

$$6-x\ge x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2+x-6\le 0,$$

$$(x+3)(x-2)\le 0.$$

Отсюда

$$x\in[-3;2].$$

Учитываем область определения:

$$6-x>0 \;\Rightarrow\; x<6.$$

Итак,

$$x\in[-3;2].$$

б) Основание $$\pi-2>1,$$ значит

$$x^2+22<13x.$$

Получаем:

$$x^2-13x+22<0,$$

$$(x-2)(x-11)<0.$$

Следовательно,

$$x\in(2;11).$$

Область определения: $$x>0,$$ что не меняет ответ.

в) Основание $$3-0{,}5\pi<1,$$ поэтому знак неравенства меняется:

$$-x-6\ge 6-x^2.$$

Приведём к стандартному виду:

$$x^2-x-12\ge 0,$$

$$(x+3)(x-4)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-3]\cup[4;+\infty).$$

Но область определения задаётся условиями:

$$-x-6>0 \;\Rightarrow\; x<-6,$$

$$6-x^2>0 \;\Rightarrow\; x^2<6.$$

Эти условия несовместны, поэтому решений нет.

г) Основание $$3{,}2-\pi<1,$$ значит

$$x^2-27<6x.$$

Получаем:

$$x^2-6x-27<0,$$

$$(x-9)(x+3)<0,$$

откуда

$$x\in(-3;9).$$

Область определения:

$$x^2-27>0 \;\Rightarrow\; x<-3\sqrt3 \;\text{ или }\; x>3\sqrt3,$$

$$6x>0 \;\Rightarrow\; x>0.$$

Совмещая, получаем

$$x\in(3\sqrt3;9).$$

Ответ

а) $$x\in[-3;2]$$; б) $$x\in(2;11)$$; в) $$\varnothing$$; г) $$x\in(3\sqrt3;9).$$