Упр.18.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 18.8. Решите неравенство:
а) $$\log_3(x^2+6)<\log_3(5x);$$
б) $$\log_{0,6}(6x-x^2)>\log_{0,6}(-8-x);$$
в) $$\lg(x^2-8)\leq\lg(2-9x);$$
г) $$\log_{\sqrt{2}}(x^2+10x)\geq\log_{\sqrt{2}}(x-14).$$
а) Так как основание логарифма $$3>1,$$ то функция $$\log_3 x$$ возрастает, значит
$$x^2+6<5x.$$
Получаем:
$$x^2-5x+6<0$$
$$(x-2)(x-3)<0.$$
Отсюда
$$2<x<3.$$
Область определения: $$x>0,$$ поэтому найденный промежуток подходит.
б) Так как $$0<0{,}6<1,$$ то функция $$\log_{0{,}6} x$$ убывает, значит
$$6x-x^2<-8-x.$$
Тогда
$$x^2-7x-8>0$$
$$(x+1)(x-8)>0,$$
откуда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>8.$$
Область определения:
$$6x-x^2>0,$$
$$x(6-x)>0,$$
$$0<x<6.$$
Пересечение множеств решений пусто, значит
$$\varnothing.$$
в) Так как $$\lg x$$ возрастает, то
$$x^2-8\le 2-9x.$$
Получаем:
$$x^2+9x-10\le 0$$
$$(x+10)(x-1)\le 0,$$
откуда
$$-10\le x\le 1.$$
Область определения:
$$x^2-8>0,$$
$$x<-2\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>2\sqrt2.$$
Пересечение с промежутком $$[-10;1]$$ даёт
$$x\in[-10;-2\sqrt2).$$
г) Так как основание $$\sqrt2>1,$$ то
$$x^2+10x\ge x-14.$$
Тогда
$$x^2+9x+14\ge 0$$
$$(x+7)(x+2)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge -2.$$
Область определения:
$$x-14>0,$$
$$x>14.$$
С учётом ОДЗ получаем
$$x\in(14;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(2;3);$$ б) $$\varnothing;$$ в) $$x\in[-10;-2\sqrt2);$$ г) $$x\in(14;+\infty).$$
