Упр.18.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
   а) $$\log_7(6x-9)<\log_7(2x+3)$$; б) $$\log_{\frac{1}{5}}(2-x)\geq\log_{\frac{1}{5}}(2x+4)$$; в) $$\lg(8x-16)<\lg(3x+1)$$; г) $$\log_{0,4}(7-x)\geq\log_{0,4}(3x+6)$$.

а) Так как основание логарифма $$7>1,$$ то неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} 6x-9>0,\\ 2x+3>0,\\ 6x-9<2x+3. \end{cases}$$

Из первых двух неравенств получаем $$x>1{,}5.$$

Третье неравенство:

$$6x-9<2x+3 \\ 4x<12 \\ x<3.$$

Значит, $$x\in(1{,}5;3).$$ Наибольшее целое решение: $$2.$$

б) Так как $$0<\frac15<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$\begin{cases} 2-x>0,\\ 2x+4>0,\\ 2-x\le 2x+4. \end{cases}$$

Из области определения:

$$2-x>0 \Rightarrow x<2, \qquad 2x+4>0 \Rightarrow x>-2.$$

Решим неравенство:

$$2-x\le 2x+4 \\ -3x\le 2 \\ x\ge -\frac23.$$

Тогда $$x\in\left[-\frac23;2\right).$$ Наибольшее целое решение: $$1.$$

в) Поскольку $$10>1,$$ имеем

$$\begin{cases} 8x-16>0,\\ 3x+1>0,\\ 8x-16<3x+1. \end{cases}$$

Из области определения:

$$8x-16>0 \Rightarrow x>2, \qquad 3x+1>0 \Rightarrow x>-\frac13.$$

Решаем неравенство:

$$8x-16<3x+1 \\ 5x<17 \\ x<\frac{17}{5}=3{,}4.$$

Следовательно, $$x\in(2;3{,}4).$$ Наибольшее целое решение: $$3.$$

г) Так как $$0<0{,}4<1,$$ знак неравенства меняется:

$$\begin{cases} 7-x>0,\\ 3x+6>0,\\ 7-x\le 3x+6. \end{cases}$$

Из области определения:

$$7-x>0 \Rightarrow x<7, \qquad 3x+6>0 \Rightarrow x>-2.$$

Решаем неравенство:

$$7-x\le 3x+6 \\ 1\le 4x \\ x\ge \frac14.$$

Тогда $$x\in\left[\frac14;7\right).$$ Наибольшее целое решение: $$6.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$3$$; г) $$6$$.