Упр.18.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\log_{\sqrt{2}-1}(7x-21)\leq\log_{\sqrt{2}-1}(21-3x);$$ б) $$\log_{\sqrt{2}+1}(2x+7)>\log_{\sqrt{2}+1}(19-6x);$$ в) $$\log_{\pi}(5x-15)\geq\log_{\pi}(15-3x);$$ г) $$\log_{2-\sqrt{3}}(4x+17)<\log_{2-\sqrt{3}}(25-5x).$$

Подробный ответ

Рассмотрим каждое неравенство отдельно. Во всех пунктах основание логарифма либо больше $$1$$, либо лежит между $$0$$ и $$1$$, поэтому при сравнении аргументов нужно учитывать монотонность логарифмической функции.

$$\log_{\sqrt{2}-1}(7x-21)\le \log_{\sqrt{2}-1}(21-3x)$$
Так как $$0<\sqrt{2}-1<1,$$ функция убывает, значит
$$7x-21\ge 21-3x.$$
Решаем:
$$10x\ge 42,\qquad x\ge 4{,}2.$$
Область определения:
$$7x-21>0,\qquad 21-3x>0,$$
откуда
$$x>3,\qquad x<7.$$
Пересечение условий:
$$x\in[4{,}2;7).$$
$$\log_{\sqrt{2}+1}(2x+7)>\log_{\sqrt{2}+1}(19-6x)$$
Так как $$\sqrt{2}+1>1,$$ функция возрастает, значит
$$2x+7>19-6x.$$
Решаем:
$$8x>12,\qquad x>1{,}5.$$
Область определения:
$$2x+7>0,\qquad 19-6x>0,$$
откуда
$$x>-3{,}5,\qquad x<\frac{19}{6}.$$
Пересечение условий:
$$x\in\left(1{,}5;\frac{19}{6}\right).$$
$$\log_{\pi}(5x-15)\ge \log_{\pi}(15-3x)$$
Так как $$\pi>1,$$ функция возрастает, значит
$$5x-15\ge 15-3x.$$
Решаем:
$$8x\ge 30,\qquad x\ge 3{,}75.$$
Область определения:
$$5x-15>0,\qquad 15-3x>0,$$
откуда
$$x>3,\qquad x<5.$$
Пересечение условий:
$$x\in[3{,}75;5).$$
$$\log_{2-\sqrt{3}}(4x+17)<\log_{2-\sqrt{3}}(25-5x)$$
Так как $$0<2-\sqrt{3}<1,$$ функция убывает, значит
$$4x+17>25-5x.$$
Решаем:
$$9x>8,\qquad x>\frac{8}{9}.$$
Область определения:
$$4x+17>0,\qquad 25-5x>0,$$
откуда
$$x>-\frac{17}{4},\qquad x<5.$$
Пересечение условий:
$$x\in\left(\frac{8}{9};5\right).$$