Упр.18.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

Пусть $$y=\log_a(1-x).$$ Тогда неравенство принимает вид

$$y^2-2y-3\ge 0.$$

Решим его:

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}, \quad y_1=-1,\; y_2=3.$$

Следовательно,

$$(y+1)(y-3)\ge 0,$$

то есть

$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Теперь учтём, что требуется, чтобы хотя бы одно целое число из интервала $$(-\sqrt{51};\lg 0{,}1)$$ было решением. Так как $$\sqrt{51}\approx 7{,}14,$$ а $$\lg 0{,}1=-1,$$ то на этом интервале лежат целые числа

$$-7,-6,-5,-4,-3,-2.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$0<a<1,$$ то функция $$\log_a x$$ убывает, поэтому

$$\log_a(1-x)\le -1 \quad \Longleftrightarrow \quad 1-x\ge a^{-1},$$

$$\log_a(1-x)\ge 3 \quad \Longleftrightarrow \quad 1-x\le a^3.$$

Чтобы на указанном интервале было хотя бы одно целое решение, достаточно, чтобы выполнялось

$$1-\frac1a\le -7,$$

откуда

$$\frac1a\ge 8,\qquad a\le \frac18.$$

2) Если $$a>1,$$ то функция $$\log_a x$$ возрастает, и получаем

$$\log_a(1-x)\le -1 \quad \Longleftrightarrow \quad 1-x\le a^{-1},$$

$$\log_a(1-x)\ge 3 \quad \Longleftrightarrow \quad 1-x\ge a^3.$$