Упр.18.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть

$$y=\log_a(2-x).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$y^2-2y-8\le 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$y^2-2y-8=(y+2)(y-4)\le 0,$$

откуда

$$-2\le y\le 4.$$

Значит,

$$-2\le \log_a(2-x)\le 4.$$

Область определения:

$$2-x>0,\qquad x<2.$$

Далее рассмотрим два случая.

1. Если $$0<a<1,$$ то функция $$\log_a t$$ убывает, поэтому

   $$a^4\le 2-x\le a^{-2}.$$

   Тогда

   $$2-a^{-2}\le x\le 2-a^4.$$

   Чтобы целочисленных решений не было, нужно, чтобы этот промежуток не содержал целых чисел. Это выполняется при

   $$\frac12<a\le \frac{\sqrt3}{3}.$$

2. Если $$a>1,$$ то функция $$\log_a t$$ возрастает, поэтому

   $$a^{-2}\le 2-x\le a^4.$$

   Тогда

   $$2-a^4\le x\le 2-a^{-2}.$$

   Чтобы целочисленных решений не было, получаем

   $$\sqrt[4]{3}\le a<\sqrt2.$$

Объединяя результаты, получаем:

$$a\in\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup\left[\sqrt[4]{3};\sqrt2\right).$$

Ответ

$$a\in\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup\left[\sqrt[4]{3};\sqrt2\right).$$