Упр.18.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\log_8 (x-3)^2 \cdot \log_{16} (x-5)^6 + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} — 3 > 0.$$

Преобразуем логарифмы к основанию $$2$$:

$$\log_8 (x-3)^2=\frac{2}{3}\log_2 |x-3|,\qquad \log_{16}(x-5)^6=\frac{6}{4}\log_2 |x-5|.$$

Тогда

$$\frac{2}{3}\log_2 |x-3|\cdot \frac{6}{4}\log_2 |x-5|+3\log_2 |x-3|-\log_2 |x-5|-3>0,$$

$$\log_2 |x-3|\cdot \log_2 |x-5|+3\log_2 |x-3|-\log_2 |x-5|-3>0,$$

$$\log_2 |x-3|\bigl(\log_2 |x-5|+3\bigr)-\bigl(\log_2 |x-5|+3\bigr)>0,$$

$$\bigl(\log_2 |x-3|-1\bigr)\bigl(\log_2 |x-5|+3\bigr)>0.$$

Ход решения

Рассмотрим знаки множителей.

1) Первый множитель:

$$\log_2 |x-3|-1>0 \iff \log_2 |x-3|>1 \iff |x-3|>2.$$

Отсюда

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>5.$$

2) Второй множитель:

$$\log_2 |x-5|+3>0 \iff \log_2 |x-5|>-3 \iff |x-5|>\frac18.$$

Отсюда

$$x<\frac{39}{8} \quad \text{или} \quad x>\frac{41}{8}.$$

Теперь учитываем, что произведение положительно, если оба множителя одного знака.

Случай 1. Оба множителя положительны:

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>5,$$

и одновременно

$$x<\frac{39}{8} \quad \text{или} \quad x>\frac{41}{8}.$$

Получаем

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>\frac{41}{8}.$$

Случай 2. Оба множителя отрицательны:

$$|x-3|<2 \iff 1<x<5,$$

и

$$|x-5|<\frac18 \iff \frac{39}{8}<x<\frac{41}{8}.$$

Пересечение этих промежутков:

$$\frac{39}{8}<x<\frac{41}{8}.$$

Объединяя результаты, получаем

$$x\in(-\infty;1)\cup\left(\frac{39}{8};\frac{41}{8}\right)\cup\left(\frac{41}{8};+\infty\right).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;1)\cup\left(\frac{39}{8};\frac{41}{8}\right)\cup\left(\frac{41}{8};+\infty\right).$$