Упр.18.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\frac{\log_4(2-x)-\log_{14}(2-x)}{\log_{14}x-\log_{49}x}\le \frac{\log_9 49}{\log_{27}8}.$$

Преобразуем выражения с помощью формулы перехода к новому основанию:

$$\log_{14}x-\log_{49}x=\frac{\log_4 x}{\log_4 14}-\frac{\log_4 x}{\log_4 49} =\log_4 x\left(\frac{1}{\log_4 14}-\frac{1}{\log_4 49}\right),$$

$$\log_4(2-x)-\log_{14}(2-x)=\log_4(2-x)\left(1-\frac{1}{\log_4 14}\right).$$

Тогда, после упрощения, получаем:

$$\frac{\log_4(2-x)}{\log_4 x}\le 1,$$

то есть

$$\log_x(2-x)\le 1.$$

Область определения:

$$2-x>0,\qquad x>0,$$

откуда

$$0<x<2.$$

Рассмотрим два случая.

Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x t$$ убывает, поэтому из неравенства

$$\log_x(2-x)\le 1$$

получаем

$$2-x\ge x,$$

$$2\ge 2x,$$

$$x\le 1.$$

С учётом $$0<x<1$$ имеем $$x\in(0;1).$$

Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x t$$ возрастает, значит

$$\log_x(2-x)\le 1 \iff 2-x\le x,$$

$$2\le 2x,$$

$$x\ge 1.$$

С учётом $$1<x<2$$ получаем $$x\in(1;2).$$

Итак,

$$x\in(0;1)\cup(1;2).$$

Ответ

$$x\in(0;1)\cup(1;2).$$