Упр.18.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 18.5. Решите неравенство:
   а) $$\log_{2}(5x-9)\leq\log_{2}(3x+1)$$;
   б) $$\log_{0,4}(12x+2)\geq\log_{0,4}(10x+16)$$;
   в) $$\log_{\frac{2}{3}}(-x)>\log_{\frac{2}{3}}(4-2x)$$;
   г) $$\log_{2,5}(6-x)<\log_{2,5}(4-3x)$$.

а) Так как основание логарифма $$2>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$\log_2(5x-9)\le \log_2(3x+1)\iff 5x-9\le 3x+1.$$

Решаем неравенство:

$$5x-9\le 3x+1$$
$$2x\le 10$$
$$x\le 5.$$

Учтём область определения:

$$5x-9>0,\quad 3x+1>0.$$

Отсюда

$$x>\frac{9}{5},\quad x>-\frac{1}{3}.$$

Итак, $$x\in\left(\frac{9}{5};5\right].$$

б) Так как основание $$0{,}4<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$\log_{0{,}4}(12x+2)\ge \log_{0{,}4}(10x+16)\iff 12x+2\le 10x+16.$$

Решаем:

$$12x+2\le 10x+16$$
$$2x\le 14$$
$$x\le 7.$$

Область определения:

$$12x+2>0,\quad 10x+16>0.$$

Отсюда

$$x>-\frac{1}{6},\quad x>-\frac{8}{5}.$$

Следовательно, $$x\in\left(-\frac{1}{6};7\right].$$

в) Основание $$\frac{2}{3}<1,$$ значит знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac{2}{3}}(-x)>\log_{\frac{2}{3}}(4-2x)\iff -x<4-2x.$$

Решаем:

$$-x<4-2x$$
$$x<4.$$

Область определения:

$$-x>0,\quad 4-2x>0.$$

Отсюда

$$x<0,\quad x<2.$$

Пересечение условий даёт:

$$x\in(-\infty;0).$$

г) Основание $$2{,}5>1,$$ поэтому знак неравенства сохраняется:

$$\log_{2{,}5}(6-x)<\log_{2{,}5}(4-3x)\iff 6-x<4-3x.$$

Решаем:

$$6-x<4-3x$$
$$2x<-2$$
$$x<-1.$$

Область определения:

$$6-x>0,\quad 4-3x>0.$$

Отсюда

$$x<6,\quad x<\frac{4}{3}.$$

Итак, $$x\in(-\infty;-1).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{9}{5};5\right]$$; б) $$x\in\left(-\frac{1}{6};7\right]$$; в) $$x\in(-\infty;0)$$; г) $$x\in(-\infty;-1).$$