Упр.18.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$t=\log_2 x,$$ тогда $$x>0.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{\sqrt{5+4t-t^2}}{5+2t}\le \frac{\sqrt{5+4t-t^2}}{4+3t}.$$

Обозначим $$A=\sqrt{5+4t-t^2}.$$ Тогда при $$A>0$$ можно перенести всё в одну сторону:

$$A\left(\frac{1}{5+2t}-\frac{1}{4+3t}\right)\le 0,$$

$$A\cdot \frac{(4+3t)-(5+2t)}{(5+2t)(4+3t)}\le 0,$$

$$A\cdot \frac{t-1}{(5+2t)(4+3t)}\le 0.$$

Так как $$A=\sqrt{5+4t-t^2}\ge 0,$$ рассмотрим область определения:

$$5+4t-t^2\ge 0,$$

$$t^2-4t-5\le 0,$$

$$(t+1)(t-5)\le 0,$$

откуда

$$-1\le t\le 5.$$

Кроме того, знаменатели не равны нулю:

$$5+2t\ne 0,\qquad 4+3t\ne 0.$$

Теперь учитываем знак выражения

$$\frac{t-1}{(5+2t)(4+3t)}.$$

На допустимой области получаем решения:

$$-1\le t\le 1,\qquad t=5.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$-1\le \log_2 x\le 1,$$ значит

$$\frac12\le x\le 2.$$

2) $$\log_2 x=5,$$ значит

$$x=32.$$

Целые решения: $$x=1,\;2,\;32.$$ Их количество равно $$3.$$

Ответ: 3.