Упр.18.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_2(5-x)>\log_{0,5}x-6.$$

Так как $$\log_{0,5}x=-\log_2x,$$ получаем

$$\log_2(5-x)+\log_2x+6>0,$$

$$\log_2\bigl(x(5-x)\bigr)+6>0.$$

Область определения:

$$5-x>0,\quad x>0,$$

$$0<x<5.$$

Проверим целые значения из области определения:

$$x=1:\ \log_2(4)+6>0,$$

$$x=2:\ \log_2(6)+6>0,$$

$$x=3:\ \log_2(6)+6>0,$$

$$x=4:\ \log_2(4)+6>0.$$

Подходят все целые числа $$1,2,3,4.$$ Их сумма:

$$S=1+2+3+4=10.$$

б) $$\frac{41x-4x^2-100}{\log_{100}(x-3)}\le 0.$$

Числитель разложим на множители:

$$41x-4x^2-100=-(4x^2-41x+100)=-(x-4)(4x-25).$$

Тогда

$$\frac{-(x-4)(4x-25)}{\log_{100}(x-3)}\le 0.$$

Найдём нули числителя:

$$x=4,\quad x=\frac{25}{4}=6{,}25.$$

Область определения:

$$x-3>0,\quad \log_{100}(x-3)\ne 0,$$

откуда

$$x>3,\quad x\ne 4.$$

Так как основание $$100>1,$$ то знак логарифма определяется сравнением аргумента с $$1$$:

$$\log_{100}(x-3)<0 \iff 3<x<4,$$

$$\log_{100}(x-3)>0 \iff x>4.$$

Рассмотрим знаки дроби на промежутках, разделённых точками $$3,\ 4,\ 6{,}25.$$ Подходит промежуток

$$x\ge 6{,}25.$$

Ответ: а) $$10$$; б) $$7$$.