Упр.18.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$\frac{\log_5(2x-3)-\lg(2x-3)}{\lg x-\log_{20}(x)}\geq\log_5(20);$$
б) $$\frac{\log_4(2-x)-\log_6(2-x)}{\log_6(x)-\log_9(x)}\leq\log(49).$$
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\log_5(2x-3)-\lg(2x-3)}{\lg x-\log_{20}x}\ge \log_5 20.$$
Преобразуем логарифмы:
$$\log_5(2x-3)=\frac{\lg(2x-3)}{\lg 5}, \qquad \log_{20}x=\frac{\lg x}{\lg 20}.$$
Тогда
$$\frac{\frac{\lg(2x-3)}{\lg 5}-\lg(2x-3)}{\lg x-\frac{\lg x}{\lg 20}}\ge \frac{\lg 20}{\lg 5}.$$
Вынесем общие множители:
$$\frac{\lg(2x-3)\left(\frac{1}{\lg 5}-1\right)}{\lg x\left(1-\frac{1}{\lg 20}\right)}\ge \frac{\lg 20}{\lg 5}.$$
После упрощения получаем
$$\frac{\lg(2x-3)}{\lg x}\ge 1.$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad x>0,$$
откуда $$x>\frac32.$$
Решаем неравенство:
$$\frac{\lg(2x-3)}{\lg x}\ge 1 \iff \log_x(2x-3)\ge 1.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x t$$ возрастает, и
$$2x-3\ge x \iff x\ge 3.$$
Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x t$$ убывает, и
$$2x-3\le x \iff x\le 3,$$
но при этом вместе с ОДЗ $$x>\frac32$$ решений нет.
Значит,
$$x\in[3;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\log_4(2-x)-\log_6(2-x)}{\log_6 x-\log_9 x}\le \log_4 9.$$
Преобразуем логарифмы:
$$\log_4(2-x)=\frac{\log_6(2-x)}{\log_6 4}, \qquad \log_9 x=\frac{\log_6 x}{\log_6 9}.$$
Тогда
$$\frac{\frac{\log_6(2-x)}{\log_6 4}-\log_6(2-x)}{\log_6 x-\frac{\log_6 x}{\log_6 9}}\le \frac{\log_6 9}{\log_6 4}.$$
После упрощения получаем
$$\frac{\log_6(2-x)}{\log_6 x}\le 1.$$
Область определения:
$$2-x>0,\quad x>0,$$
то есть
$$0<x<2.$$
Решаем неравенство:
$$\frac{\log_6(2-x)}{\log_6 x}\le 1 \iff \log_x(2-x)\le 1.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x t$$ убывает, и
$$2-x\ge x \iff x\le 1.$$
С учётом ОДЗ получаем $$x\in(0;1).$$
Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x t$$ возрастает, и
$$2-x\le x \iff x\ge 1.$$
С учётом ОДЗ получаем $$x\in(1;2).$$
Итак,
$$x\in(0;1)\cup(1;2).$$
Ответ
а) $$x\in[3;+\infty).$$
б) $$x\in(0;1)\cup(1;2).$$
