Упр.18.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_{5x-4x^2}(4^{-x})>0$$; б) $$\log_{-5x^2-6x}(6^x)>0$$.

Рассмотрим неравенство $$\log_{5x-4x^2}(4^{-x})>0.$$

Для логарифма должны выполняться условия:

$$5x-4x^2>0,\qquad 5x-4x^2\ne 1,\qquad 4^{-x}>0.$$

Так как $$4^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ то остаётся исследовать знак основания и сравнить его с единицей.

Логарифм положителен в двух случаях:

$$\begin{cases} 5x-4x^2>1,\\ 4^{-x}>1 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 0<5x-4x^2<1,\\ 4^{-x}<1. \end{cases}$$

1) Если $$5x-4x^2>1,$$ то

$$5x-4x^2-1>0 \\ -4x^2+5x-1>0 \\ 4x^2-5x+1<0 \\ (4x-1)(x-1)<0,$$

откуда

$$\frac14<x<1.$$

При этом $$4^{-x}>1$$ для $$x<0,$$ поэтому первая система решений не имеет.

2) Если $$0<5x-4x^2<1,$$ то из $$4^{-x}<1$$ получаем $$x>0.$$

Теперь решим неравенство

$$0<5x-4x^2<1.$$

Из $$5x-4x^2>0$$ имеем

$$x(5-4x)>0 \quad \Rightarrow \quad 0<x<\frac54.$$

Из $$5x-4x^2<1$$ получаем

$$5x-4x^2-1<0 \\ 4x^2-5x+1>0 \\ (4x-1)(x-1)>0,$$

то есть

$$x<\frac14 \quad \text{или} \quad x>1.$$

С учётом $$x>0$$ получаем

$$0<x<\frac14 \quad \text{или} \quad 1<x<\frac54.$$

Объединяя результаты, получаем ответ.

Ответ

$$x\in\left(0;\frac14\right)\cup\left(1;\frac54\right).$$