Упр.18.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{0,5}\left(\log_2\left(\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)>0$$; б) $$\log_2\left(\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{3x-1}{x+1}\right)\right)>0$$; в) $$\log_{0,2}\left(\log_{0,3}\left(\log_{0,4}\left(\frac{1}{x+1}\right)\right)\right)<0$$; г) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_8\left(\frac{x^2-2x}{x-3}\right)\right)<0$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\log_{0,5}\!\left(\log_2\!\left(\log_{\frac13}\frac1x\right)\right)>0.$$

Так как основание $$0{,}5<1,$$ то

$$\log_2\!\left(\log_{\frac13}\frac1x\right)<1.$$

Область определения:

$$\log_{\frac13}\frac1x>0,\qquad \frac1x>0.$$

Из $$\log_{\frac13}\frac1x>0$$ получаем

$$0<\frac1x<1 \;\;\Rightarrow\;\; x>1.$$

Решаем неравенство:

$$\log_2\!\left(\log_{\frac13}\frac1x\right)<1 \;\;\Rightarrow\;\; \log_{\frac13}\frac1x<2.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ то

$$\frac1x>\left(\frac13\right)^2=\frac19 \;\;\Rightarrow\;\; x<9.$$

С учётом ОДЗ:

$$x\in(1;9).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\log_2\!\left(\log_{\frac13}\frac{3x-1}{x+1}\right)>0.$$

Так как основание $$2>1,$$ то

$$\log_{\frac13}\frac{3x-1}{x+1}>1.$$

Область определения:

$$\frac{3x-1}{x+1}>0.$$

Решаем неравенство:

$$\log_{\frac13}\frac{3x-1}{x+1}>1 \;\;\Rightarrow\;\; \frac{3x-1}{x+1}<\frac13.$$

Тогда

$$\frac{3x-1}{x+1}-\frac13<0 \\\\ \frac{9x-3-x-1}{3(x+1)}<0 \\\\ \frac{8x-4}{3(x+1)}<0 \\\\ \frac{2x-1}{x+1}<0.$$

Совмещая с ОДЗ $$\frac{3x-1}{x+1}>0,$$ получаем

$$x\in\left(\frac13;\frac12\right).$$

в) Рассмотрим неравенство $$\log_{0,2}\!\left(\log_{0,3}\!\left(\log_{0,4}\frac1{x+1}\right)\right)<0.$$

Так как основание $$0{,}2<1,$$ то

$$\log_{0,3}\!\left(\log_{0,4}\frac1{x+1}\right)>1.$$

Так как основание $$0{,}3<1,$$ то

$$\log_{0,4}\frac1{x+1}<0{,}3.$$

Так как основание $$0{,}4<1,$$ то

$$\frac1{x+1}>0{,}4^{0{,}3}.$$

Отсюда

$$x+1<\frac1{0{,}4^{0{,}3}}=2{,}5^{0{,}3},$$

то есть

$$x<2{,}5^{0{,}3}-1.$$

Область определения:

$$\frac1{x+1}>0,\qquad \frac1{x+1}<1,$$

откуда

$$x>0.$$

Итак,

$$x\in\left(0;\,2{,}5^{0{,}3}-1\right).$$

г) Рассмотрим неравенство $$\log_{\frac12}\!\left(\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}\right)<0.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ то

$$\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}>1.$$

Так как основание $$8>1,$$ то

$$\frac{x^2-2x}{x-3}>8.$$

Получаем

$$\frac{x^2-2x-8(x-3)}{x-3}>0 \\\\ \frac{x^2-10x+24}{x-3}>0 \\\\ \frac{(x-4)(x-6)}{x-3}>0.$$

По методу интервалов:

$$x\in(3;4)\cup(6;+\infty).$$

Область определения:

$$\frac{x^2-2x}{x-3}>0 \;\;\Rightarrow\;\; \frac{x(x-2)}{x-3}>0,$$

откуда

$$x\in(0;2)\cup(3;+\infty).$$

Пересечение с найденным решением даёт

$$x\in(3;4)\cup(6;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(1;9);$$ б) $$x\in\left(\frac13;\frac12\right);$$ в) $$x\in\left(0;\,2{,}5^{0{,}3}-1\right);$$ г) $$x\in(3;4)\cup(6;+\infty).$$