Упр.18.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$(4x^2-16x+7)\log_2(x-3)>0$$; б) $$\frac{\log_{0,3}(x-1)}{\sqrt{5x-x^2}}\leq 0$$.

а) Рассмотрим произведение $$\left(4x^2-16x+7\right)\log_2(x-3)>0.$$

Найдём нули первого множителя:

$$4x^2-16x+7=0,$$

$$D=(-16)^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{16\pm 12}{8},\quad x_1=\frac12,\quad x_2=\frac72.$$

Тогда

$$4x^2-16x+7>0 \text{ при } x<\frac12 \text{ и } x>\frac72,$$

$$4x^2-16x+7<0 \text{ при } \frac12<x<\frac72.$$

Область определения логарифма: $$x-3>0,\quad x>3.$$

Теперь рассмотрим знак логарифма:

$$\log_2(x-3)>0 \iff x-3>1 \iff x>4,$$

$$\log_2(x-3)<0 \iff 0<x-3<1 \iff 3<x<4.$$

Произведение положительно, когда множители одного знака:

$$\begin{aligned} &\frac12<x<\frac72 \text{ и } 3<x<4 \;\Rightarrow\; 3<x<\frac72,\\ &x>\frac72 \text{ и } x>4 \;\Rightarrow\; x>4. \end{aligned}$$

Ответ: $$x\in\left(3;\frac72\right)\cup(4;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\log_{0,3}(x-1)}{\sqrt{5x-x^2}}\le 0.$$

Знаменатель должен быть положительным:

$$\sqrt{5x-x^2}>0 \iff 5x-x^2>0 \iff x(5-x)>0 \iff 0<x<5.$$

На этой области знаменатель положителен, значит знак дроби определяется числителем. Тогда нужно решить

$$\log_{0,3}(x-1)\le 0.$$

Так как основание $$0<0,3<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому

$$\log_{0,3}(x-1)\le 0 \iff x-1\ge 1 \iff x\ge 2.$$

Пересекаем с областью определения:

$$x\in[2;5).$$

Ответ: $$x\in[2;5).$$