Упр.18.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 18.43. Решите неравенство: а) $$(4x-1)\log_{2}(x)\ge 0$$; б) $$(x+2)\log_{1,5}(4-x)\ge 0$$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно и учтём область определения логарифмов.

а)

$$(4x-1)\log_2 x \ge 0$$

Область определения: $$x>0.$$

Нули множителей:

$$4x-1=0 \Rightarrow x=\frac14,$$

$$\log_2 x=0 \Rightarrow x=1.$$

Рассмотрим промежутки:

• при $$0<x<\frac14$$ имеем $$4x-1<0,$$ $$\log_2 x<0,$$ значит произведение $$\ge 0$$;
• при $$\frac14<x<1$$ имеем $$4x-1>0,$$ $$\log_2 x<0,$$ значит произведение $$<0$$;
• при $$x>1$$ имеем $$4x-1>0,$$ $$\log_2 x>0,$$ значит произведение $$\ge 0$$.

С учётом точек $$x=\frac14$$ и $$x=1$$ получаем:

$$x\in\left(0;\frac14\right]\cup[1;+\infty).$$

б)

$$(x+2)\log_{1,5}(4-x) \ge 0$$

Область определения: $$4-x>0,$$ то есть $$x<4.$$

Нули множителей:

$$x+2=0 \Rightarrow x=-2,$$

$$\log_{1,5}(4-x)=0 \Rightarrow 4-x=1 \Rightarrow x=3.$$

Так как основание $$1,5>1,$$ то:

• при $$x<3$$ имеем $$4-x>1,$$ значит $$\log_{1,5}(4-x)>0$$;
• при $$3<x<4$$ имеем $$0<4-x<1,$$ значит $$\log_{1,5}(4-x)<0$$.

Теперь учитываем знак $$x+2$$:

• при $$x<-2$$ оба множителя отрицательны, произведение $$\ge 0$$;
• при $$-2<x<3$$ оба множителя положительны, произведение $$\ge 0$$;
• при $$3<x<4$$ множители разных знаков, произведение $$<0$$.

Следовательно,

$$x\in[-2;3].$$

Ответ

а) $$x\in\left(0;\frac14\right]\cup[1;+\infty)$$; б) $$x\in[-2;3].$$