Упр.18.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Система $$\begin{cases}\log_{0,1}(x^2-12)<\log_{0,1}(-x),\\2^{x-1}>\frac{1}{8};\end{cases}$$

б) Система $$\begin{cases}3^{x^2-5x-4}<9,\\\log_{\frac{1}{5}}(x^2+3)\geq\log_{\frac{1}{5}}(4x).\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{0{,}1}(x^2-12)<\log_{0{,}1}(-x),\\ 2^{x-1}>\dfrac18. \end{cases}$$

Так как основание логарифма $$0{,}1<1,$$ то знак неравенства при сравнении аргументов меняется:

$$x^2-12>-x.$$

Получаем

$$x^2+x-12>0,$$

$$(x+4)(x-3)>0.$$

Отсюда

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Второе неравенство:

$$2^{x-1}>\dfrac18=2^{-3},$$

значит

$$x-1>-3,\quad x>-2.$$

Область определения первого неравенства:

$$x^2-12>0,\quad -x>0,$$

то есть

$$x<-2\sqrt{3} \quad \text{и} \quad x<0.$$

Следовательно, $$x<-2\sqrt{3}.$$

Пересечение всех условий:

$$\left(x<-4 \ \text{или}\ x>3\right)\cap (x>-2)\cap (x<-2\sqrt3)=\varnothing.$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3^{x^2-5x-4}<9,\\ \log_{1/5}(x^2+3)\ge \log_{1/5}(4x). \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$3^{x^2-5x-4}<3^2,$$

так как $$3>1,$$ получаем

$$x^2-5x-4<2,$$

$$x^2-5x-6<0,$$

$$(x+1)(x-6)<0.$$

Отсюда

$$-1<x<6.$$

Второе неравенство: основание $$\dfrac15<1,$$ значит знак меняется:

$$x^2+3\le 4x,$$

$$x^2-4x+3\le 0,$$

$$(x-1)(x-3)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le x\le 3.$$

Область определения: $$x>0,$$ так как $$4x>0.$$

Пересечение решений:

$$(-1,6)\cap [1,3]=[1,3].$$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$[1;3]$$.