Упр.18.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\begin{cases}\log_3(x^2)>\log_3(125)-\log_3(5),\\ \log_{0,2}(x-1)<0;\end{cases}$$
• б) $$\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}(x^2)\geq\log_{\frac{1}{2}}(28)-\log_{\frac{1}{2}}(7),\\ \log_3(4x-1)>0.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125-\log_3 5,\\ \log_{0,2}(x-1) < 0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\log_3 x^2 > \log_3 \frac{125}{5}=\log_3 25$$

Так как основание $$3>1$$, получаем:

$$x^2>25 \quad \Rightarrow \quad x<-5 \text{ или } x>5.$$

Второе неравенство:

$$\log_{0,2}(x-1)<0.$$

Так как $$0<0,2<1$$, логарифмическая функция убывает, поэтому

$$x-1>1 \quad \Rightarrow \quad x>2.$$

Пересечение решений:

$$(x<-5 \text{ или } x>5)\cap (x>2)=x>5.$$

Следовательно,

$$x\in(5;+\infty).$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12} 28-\log_{\frac12} 7,\\ \log_3(4x-1)>0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12}\frac{28}{7}=\log_{\frac12}4.$$

Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:

$$x^2\le 4 \quad \Rightarrow \quad -2\le x\le 2.$$

Второе неравенство:

$$\log_3(4x-1)>0.$$

Так как $$3>1$$, имеем:

$$4x-1>1 \quad \Rightarrow \quad 4x>2 \quad \Rightarrow \quad x>\frac12.$$

Пересечение решений:

$$[-2;2]\cap \left(\frac12;+\infty\right)=\left(\frac12;2\right].$$

Ответ: а) $$x\in(5;+\infty)$$; б) $$x\in\left(\frac12;2\right]$$.