Упр.18.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 18.40. Решите систему неравенств:
   а) $$\begin{cases}\log_{0,2}(2x+3)<\log_{0,2}(x-2),\\ \log_{6}(3x-1)\leq\log_{6}(9x+4);\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\log_{7}(6x-1)\leq\log_{7}(9x+11),\\ \log_{0,5}(3-x)<\log_{0,5}(4x-1).\end{cases}$$

Рассмотрим каждое неравенство системы отдельно и учтём область определения.

а)

$$\begin{cases} \log_{0,2}(2x+3) < \log_{0,2}(x-2),\\ \log_{6}(3x-1) \le \log_{6}(9x+4). \end{cases}$$

Так как основание $$0,2<1,$$ в первом неравенстве знак меняется:

$$2x+3 > x-2,$$

$$x > -5.$$

Во втором неравенстве основание $$6>1,$$ поэтому знак не меняется:

$$3x-1 \le 9x+4,$$

$$-5 \le 6x,$$

$$x \ge -\frac{5}{6}.$$

Найдём область определения:

$$2x+3>0,\quad x-2>0,\quad 3x-1>0,\quad 9x+4>0.$$

Отсюда

$$x>-\frac{3}{2},\quad x>2,\quad x>\frac{1}{3},\quad x>-\frac{4}{9}.$$

Следовательно, $$x>2.$$ Это условие уже удовлетворяет обоим неравенствам.

Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$

б)

$$\begin{cases} \log_{7}(6x-1) \le \log_{7}(9x+11),\\ \log_{0,5}(3-x) < \log_{0,5}(4x-1). \end{cases}$$

В первом неравенстве основание $$7>1,$$ значит знак не меняется:

$$6x-1 \le 9x+11,$$

$$-12 \le 3x,$$

$$x \ge -4.$$

Во втором неравенстве основание $$0,5<1,$$ поэтому знак меняется:

$$3-x > 4x-1,$$

$$4 > 5x,$$

$$x < \frac{4}{5}.$$

Найдём область определения:

$$6x-1>0,\quad 9x+11>0,\quad 3-x>0,\quad 4x-1>0.$$

Отсюда

$$x>\frac{1}{6},\quad x>-\frac{11}{9},\quad x<3,\quad x>\frac{1}{4}.$$

Пересечение всех условий:

$$x\in\left(\frac{1}{4};\frac{4}{5}\right).$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{1}{4};\frac{4}{5}\right).$$